Bilateral Trade and Myerson-Satterthwaite Theorem (2)

이전 글에서 Bilateral Trade 문제가 뭔지, Myerson-Satterthwaite Theorem이 뭔지 설명했다. 여기서는 이 정리를 증명하고자 한다. 기본적인 설정과 notation은 이전 글을 참고하시기 바란다.

https://cultivated-algorist.tistory.com/entry/Bilateral-Trade-and-Myerson-Satterthwaite-Theorem-1

Bilateral Trade and Myerson-Satterthwaite Theorem (1)

 

사람1이 $v$를 report했을 때의 수익의 기댓값, trade가 일어날 확률은 다음과 같다.

$$\bar{x}_1(v)=\int_{a_2}^{b_2}{x_1(v,v')f_2(v')dv'}$$

$$\bar{p}_1(v)=\int_{a_2}^{b_2}{p(v,v')f_2(v')dv'}$$

사람2가 $v$를 report했을 때의 지불금의 기댓값, trade가 일어날 확률은 다음과 같다.

$$\bar{x}_2(v)=\int_{a_1}^{b_1}{x_2(v',v)f_1(v')dv'}$$

$$\bar{p}_2(v)=\int_{a_1}^{b_1}{p(v',v)f_1(v')dv'}$$

 

사람1이 $v_1$을 report했을 때, 즉 truthful reporting을 했다고 했을 때의 expected utility를 $U_1(v_1)$이라고 한다면 다음과 같이 적을 수 있다.

$$U_1(v_1)=\bar{x}_1(v_1)-v_1\bar{p}_1(v_1)$$

풀어서 설명하자면 [$v_1$을 report했을 때의 기대 수익]에서 $v_1$과 [$v_1$을 report했을 때 trade가 일어날 확률]을 곱한 것을 뺀 것이 기대 효용이다. 마찬가지로 사람2에 대해서 truthful reporting을 했을 때의 expected utility $U_2(v_2)$를 적으면

$$U_2(v_2)=v_2\bar{p}_2(v_2)-\bar{x}_2(v_2)$$

과 같다.

 

Myerson-Satterthwaite Theorem을 다시 적어보자.

No BIC, IR, WBB mechanism can be ex post efficient.

 

이제 증명을 시작할 텐데 그전에 용어들에 대한 정의를 현재 문제에 대해서 수식적으로 다시 적어보고자 한다.

 

1. Bayesian Incentive Compatible

$(p,x_1,x_2)$ is BIC iff for every $v_1,v'_1 \in [a_1,b_1]$ and for every $v_2,v'_2 \in [a_2,b_2]$,

$$ U_1(v_1) \ge \bar{x}_1(v'_1)-v_1\bar{p}_1(v'_1),$$

$$ U_2(v_2) \ge v_2\bar{p}_2(v'_2)-\bar{x}_2(v'_2)$$

2. Individually Rational

$(p,x_1,x_2)$ is IR iff for every $v_1 \in [a_1,b_1]$ and for every $v_2 \in [a_2,b_2]$,

$$ U_1(v_1) \ge 0, U_2(v_2) \ge 0$$

3. Weakly Budget Balanced

$(p,x_1,x_2)$ is WBB iff for every $v_1 \in [a_1,b_1]$ and for every $v_2 \in [a_2,b_2]$,

$$x_1(v_1,v_2) \le x_2(v_1,v_2)$$

 

이제 임의의 BIC $(p,x_1,x_2)$가 주어졌다고 생각하자. 먼저 다음을 보이려고 한다.

Lemma 1. For any BIC $(p,x_1,x_2)$,
(i) $\bar{p}_1(\cdot)$ is weakly decreasing,
(ii) $\bar{p}_2(\cdot)$ is weakly increasing,
(iii) $U_1(v_1)=U_1(b_1)+\displaystyle\int_{v_1}^{b_1}{\bar{p}_1(t_1)dt_1}$, and
(iv) $U_2(v_2)=U_2(a_2)+\displaystyle\int_{a_2}^{v_2}{\bar{p}_2(t_2)dt_2}$.

proof. BIC임을 활용한다. 아무 $v_1,v'_1 \in [a_1,b_1]$에 대해서 다음이 성립한다.

$$U_1(v_1) = \bar{x}_1(v_1)-v_1\bar{p}_1(v_1) \ge \bar{x}_1(v'_1)-v_1\bar{p}_1(v'_1)$$

$$U_1(v'_1) = \bar{x}_1(v'_1)-v'_1\bar{p}_1(v'_1) \ge \bar{x}_1(v_1)-v'_1\bar{p}_1(v_1)$$

WLOG, $v_1<v'_1$이 성립한다고 하자. 위 두 부등식을 합쳐서 정리하면 다음을 얻을 수 있다.

$$(v'_1-v_1)\bar{p}_1(v_1) \ge U_1(v_1)-U_1(v'_1) \ge (v'_1-v_1)\bar{p}_1(v'_1) $$

이로부터 $\bar{p}_1(\cdot)$가 weakly decreasing함을 알 수 있다.

 

함수가 monotone하면 적분이 가능하다. (https://www.math.utah.edu/~yael/3210_public/exams/Integral.pdf) 적분이 가능하다는 말은 upper integral과 lower integral이 같다는 뜻이다. $[v_1,v'_1]$구간을 작은 interval들로 쪼개고 이 구간에서 $\bar{p}_1(\cdot)$의 upper integral과 lower integral이 같다는 조건을 통해 다음을 얻을 수 있다. 

$$\int_{v_1}^{v'_1}{\bar{p}_1(t_1)dt_1}=U_1(v_1)-U_1(v'_1)$$

$v'_1$자리에 $b_1$을 넣으면 다음을 얻는다.

$$\int_{v_1}^{b_1}{\bar{p}_1(t_1)dt_1}=U_1(v_1)-U_1(b_1)$$

 

비슷한 과정으로 $\bar{p}_2(\cdot)$가 weakly increasing하고 아무 $v_2 \in [a_2,b_2]$에 대해서

$$\int_{a_2}^{v_2}{\bar{p}_2(t_2)dt_2}=U_1(v_2)-U_1(a_2)$$

임을 볼 수 있다. ■

 

이 lemma로 다음을 쉽게 확인할 수 있다.

Corollary 1. For any BIC $(p,x_1,x_2)$,
(i) $U_1(\cdot)$ is weakly decreasing,
(ii) $U_2(\cdot)$ is weakly increasing,
(iii) $\displaystyle\min_{v_1\in [a_1,b_1]} U_1(v_1) + \displaystyle\min_{v_2 \in [a_2,b_2]} U_2(v_2) = U_1(b_1)+U_2(a_2)$

 

다음 lemma를 보이기 전에 mechanism의 expected utility $U_0$를 정의하고자 한다.

$$U_0=\int_{a_1}^{b_1}{\int_{a_2}^{b_2}{\left[x_2(t_1,t_2)-x_1(t_1,t_2)\right]f_1(t_1)f_2(t_2)dt_1}dt_2}$$

쉽게 말해서 사람2가 내는 것과 사람1이 받는 것의 차이만큼이 메커니즘의 기대 효용인 것이다. 이를 이용해 다음 lemma를 적고자 한다.

Lemma 2. For any BIC $(p,x_1,x_2)$,
$$U_0+U_1(b_1)+U_2(a_2)=$$ $$\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{b_1}{\left(\left[v_2-\frac{1-F_2(v_2)}{f_2(v_2)}\right]-\left[v_1+\frac{F_1(v_1)}{f_1(v_1)}\right]\right)\cdot p(v_1,v_2)f_1(v_1)f_2(v_2)dv_1}dv_2}$$

수식이 다소 괴랄해 보이지만 차근차근 생각해보자.

proof. 물건이 사람1에서 사람2로 이동했을 때 사회의 관점에서 얻는 surplus는 $v_2-v_1$이었다. $v_1$과 $v_2$는 각자의 분포에서 정해 지므로 사회의 관점에서 얻는 surplus의 기댓값을 계산할 수 있다. 이 expected surplus를 GFT (gains-from-trade)라고 부르도록 하겠다. BIC의 성질을 이용해서 truthful reporting을 했다고 생각하면 GFT는 다음과 같다.

$$GFT=\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{b_1}{(v_2-v_1)p(v_1,v_2)f_1(v_1)f_2(v_2)dv_1}dv_2}$$

사회가 얻는 expected surplus는 [사람1의 expected utility]+[사람2의 expected utility]+[메커니즘의 expected utility]로 풀어서 적을 수 있다.

$$GFT=\int_{a_1}^{b_1}{U_1(v_1)f_1(v_1)dv_1}+\int_{a_2}^{b_2}{U_2(v_2)f_2(v_2)dv_2}+U_0$$

첫 번째 term인 사람1의 expected utiltiy 부분만 떼어놓고 수식을 전개하고자 한다. Lemma 1에 따라 $U_1(v_1)$을 대체해서 쓸 수 있다.

$$\int_{a_1}^{b_1}{U_1(v_1)f_1(v_1)dv_1}=\int_{a_1}^{b_1}{\left(U_1(b_1)+\int_{v_1}^{b_1}{\bar{p}_1(t_1)dt_1}\right)f_1(v_1)dv_1}$$

$f_1(\cdot)$가 PDF이기 때문에 $[a_1,b_1]$ 구간에서 적분하면 1이라는 것을 이용해서 위 수식의 integral들을 좀 정리하면 다음과 같다.

$$U_1(b_1)+\int_{a_1}^{b_1}{\int_{v_1}^{b_1}{\bar{p}_1(t_1)dt_1}f_1(v_1)dv_1}=U_1(b_1)+\int_{a_1}^{b_1}{\bar{p}_1(v_1)F_1(v_1)dv_1}$$

필자는 여기에 등장하는 등식을 다음과 같이 이해했다. 밑면은 $v_1$에서 $b_1$까지 $\bar{p}_1(\cdot)$을 적분한 것으로 하고 높이는 $f_1(v_1)$인 사각기둥을 하나 가상으로 만든다. 그리고 $v_1$이 $a_1$에서 시작해서 $b_1$에 도달할 때까지 사각기둥들을 겹치지 않게 둘 것이다. 놓인 사각기둥들을 하나의 도형으로 생각하고 이 도형을 $a_1$부터 $b_1$까지 잘게 쪼개면 한 변의 길이가 $\bar{p}_1(v_1)$이고 다른 한 변의 길이가 $F_1(v_1)$인 직사각형이 나온다. 따라서 위의 등식이 성립하는 것이다.

 

어쨌든 이 과정을 사람2의 expected utiltiy에 대해서도 똑같이 해주면 다음과 같다.

$$\int_{a_2}^{b_2}{U_2(v_2)f_2(v_2)dv_2}=U_2(a_2)+\int_{a_2}^{b_2}{\bar{p}_1(v_1)\left(1-F_2(v_2)\right)dv_2}$$

이제 수식을 합치면

$$GFT=U_1(b_1)+U_2(a_2)+\int_{a_1}^{b_1}{\bar{p}_1(v_1)F_1(v_1)dv_1}+\int_{a_2}^{b_2}{\bar{p}_1(v_1)\left(1-F_2(v_2)\right)dv_2}+U_0$$

우변에 $U_1(b_1)+U_2(a_2)+U_0$만 남기고 정리하면 lemma 2의 statement가 성립함을 볼 수 있다. ■

 

Corollary 2. For any BIC, IR, WBB $(p,x_1,x_2)$,
$$\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{b_1}{\left(\left[v_2-\frac{1-F_2(v_2)}{f_2(v_2)}\right]-\left[v_1+\frac{F_1(v_1)}{f_1(v_1)}\right]\right)\cdot p(v_1,v_2)f_1(v_1)f_2(v_2)dv_1}dv_2}\ge 0$$

proof. 메커니즘이 WBB이기 때문에 $U_0$는 음수가 아니고 메커니즘이 IR이므로 $U_1(b_1)\ge 0, U_2(a_2)\ge 0$이 성립한다. ■

 

Lemma 3. If $p(\cdot,\cdot)$ is any function mapping $[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]$ into $[0,1]$, then there exists a $x_1, x_2$ such that $(p,x_1,x_2)$ is BIC, IR, WBB if and only if $\bar{p}_1(\cdot)$ is weakly decreasing, $\bar{p}_2(\cdot)$ is weakly increasing and
$$\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{b_1}{\left(\left[v_2-\frac{1-F_2(v_2)}{f_2(v_2)}\right]-\left[v_1+\frac{F_1(v_1)}{f_1(v_1)}\right]\right)\cdot p(v_1,v_2)f_1(v_1)f_2(v_2)dv_1}dv_2}\ge 0$$

proof. "→, only if 파트." lemma 1과 corollary 2에 의해 성립한다.

"←, if 파트"를 보이면 된다. 즉, 우리는 조건을 만족할 때 BIC, IR, WBB이 되도록 하는 $x_1, x_2$를 찾으면 된다. 우리는  가능한 $x_1, x_2$ 중에서 $x_1=x_2$가 되도록 설정할 것이다. 이 함수를 $x(\cdot,\cdot)$이라고 부르도록 하자. 우리는 이 함수를 다음과 같이 설정할 것이다.

$$x(v_1,v_2)=\int_{a_1}^{v_1}{t_1 d[\bar{p}_1(t_1)]}+\int_{a_2}^{v_2}{t_2 d[\bar{p}_2(t_2)]}$$

$$+ a_2\bar{p}_2(a_2)-\int_{a_1}^{b_1}{t_1\left(1-F_1(t_1)\right)d[\bar{p}_1(t_1)]}$$

꽤나 복잡하지만 차근차근 보도록 하겠다.

 

1. BIC 조건을 만족하는가?

$x$의 설정에 따라 모든 $v_1,v'_1 \in [a_1,b_1]$과 모든 $v_2,v'_2 \in [a_2,b_2]$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\bar{x}_1(v_1)-\bar{x}_1(v'_1) = \int_{v'_1}^{v_1}{t_1d[\bar{p}_1(t_1)]}$$

$$\bar{x}_2(v_2)-\bar{x}_2(v'_2) = \int_{v'_2}^{v_2}{t_2d[\bar{p}_2(t_2)]}$$

 

위를 이용해서 사람1의 truthful reporting의 utility와 아닐때의 utility를 비교하면

$$\left(\bar{x}_1(v_1)-v_1\bar{p}_1(v_1)\right) - \left(\bar{x}_1(v'_1) -v_1\bar{p}_1(v'_1)\right)$$

$$=\left(\bar{x}_1(v_1)-\bar{x}_1(v'_1)\right) - v_1\left(\bar{p}_1(v_1) -\bar{p}_1(v'_1)\right)$$

$$=\int_{v'_1}^{v_1}{t_1d[\bar{p}_1(t_1)]} - v_1\int_{v'_1}^{v_1}{d[\bar{p}_1(t_1)]}$$

$$=\int_{v'_1}^{v_1}{\left(v_1-t_1\right)d[-\bar{p}_1(t_1)]}$$

이다. $\bar{p}_1(\cdot)$가 weakly decreasing이라는 조건이 있었음을 기억하자. $v'_1<v_1$이었다면 위 값은 음수가 될 수 없다. $v'_1>v_1$이었다면 피적분 함수 부분이 음수가 되지만 적분 방향이 반대로 되어서 결국 0 이상이다. 

 

똑같은 과정을 사람2에 대해서 적용하면 BIC를 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

 

2. WBB를 만족하는가?

$x_1$과 $x_2$가 $x$로 동일하니 이는 SBB이다. 즉 WBB 조건을 만족한다. (이때 $x(\cdot,\cdot)$가 음수가 되지 않는다는 것도 보여야 한다. $\bar{p}_1(\cdot)$가 weakly decreasing하고 $\bar{p}_2(\cdot)$가 weakly increasing하다는 조건을 통해 첫 두개의 term들이 음이 아니라는 것을 통해 쉽게 확인할 수 있다.)

 

3. IR을 만족하는가?

$x$를 설정한 방식에 의해서

$$U_2(a_2)=a_2\bar{p}_2(a_2)-\int_{a_1}^{b_1}{x(v_1,a_2)f_1(v_1)dv_1}=0$$

임을 확인할 수 있다. 또한 BIC임을 확인했으니 corollary 1을 적용할 수 있다. 즉, $U_2(\cdot)$는 increasing하기 때문에 사람2의 expected utility는 음수가 될 수 없다.

SBB이므로 $U_0=0$임을 확인하자. 위 수식과 lemma 2에 의해 $U_1(b_1)\ge 0$이고 corollary 2에 의해 $U_1(\cdot)$는 decreasing함을 알고 있다. 따라서 사람1의 expected utility도 음수가 될 수 없다.■

 

 

이제 Myerson-Satterthwaite Theorem을 증명해보자.

proof. Ex post efficient한 BIC 메커니즘 $(p,x_1,x_2)$을 하나 생각하자. 이때 $p(\cdot,\cdot)$는 다음과 같아야 한다.

$$p(v_1,v_2)=\begin{cases}
1,   \text{if $v_1\le v_2$,} \\
0,  \text{otherwise.}
\end{cases}$$

이 $p(\cdot,\cdot)$에 따라 $\bar{p}_1(\cdot), \bar{p}_2(\cdot)$를 다시 적을 수 있다.

$$\bar{p}_1(v_1)=Pr[V_2\ge v_1] = 1-F_2(v_1)$$

$$\bar{p}_2(v_2)=Pr[V_1\le v_2] = F_1(v_2)$$

($V_1, V_2$는 상대방이 바라보는 확률 변수이다.) 이를 통해 $\bar{p}_1(\cdot), \bar{p}_2(\cdot)$는 각각 weakly decreasing, weakly increasing 함을 알 수 있다.

 

모순을 가정해서 Ex post efficient한 BIC 메커니즘 중에 IR과 WBB를 모두 만족하는 메커니즘이 있다고 생각하자. 이것을 보이기 위해선 lemma 3에 의해 $U_0+U_1(b_1)+U_2(a_2)$와 같은 수식이 0 이상임을 보이기만 하면 된다.

수식을 편하게 적기 위해 $C_1=[v_1+\frac{F_1(v_1)}{f_1(v_1)}], C_2=[v_2-\frac{1-F_2(v_2)}{f_2(v_2)}]$라고 하자. 

$$\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{b_1}{\left(C_2-C_1\right)\cdot p(v_1,v_2)f_1(v_1)f_2(v_2)dv_1}dv_2}$$

$$=\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{\min\{b_1,v_2\}}{\left(C_2-C_1\right)\cdot f_1(v_1)f_2(v_2)dv_1}dv_2}$$

위 등식은 $p(\cdot,\cdot)$가 1인 지점만 뽑아 놓은 것이다. 이제 이중적분을 $C_2$파트와 $C_1$파트로 쪼개고 변수에 대해 정리를 할 것이다. 추가로 $C_1$파트 에서는 $C_1\cdot f_1(v_1)$을 전개할 것이다.

$$\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{\min\{b_1,v_2\}}{f_1(v_1)dv_1}C_2f_2(v_2) dv_2}$$

$$-\int_{a_2}^{b_2}{\int_{a_1}^{\min\{b_1,v_2\}}{\left[v_1f_1(v_1)+F_1(v_1)\right]dv_1} f_2(v_2) dv_2}$$

첫 번째 term의 안쪽 적분 부분은 $F_1(v_2)$로 바꿔 쓸 수 있다. 두번째 term의 대괄호 부분(안쪽 적분의 피적분 함수)은 $v_1F_1(v_1)$을 미분했을 때 나오는 식이기 때문에 안쪽 적분 부분을 $\min\{b_1, v_2F_1(v_2)\}$로 바꿔 쓸 수 있다.

$$\int_{a_2}^{b_2}{C_2F_1(v_2)f_2(v_2)dv_2}-\int_{a_2}^{b_2}{\min\{b_1, v_2F_1(v_2)\} f_2(v_2) dv_2}$$

첫번째 term에서 $F_1(v_2)C_2f_2(v_2)$를 전개를 해서 정리하고, 두번째 term에서는 $a_2$에서 $b_2$까지 적분하는 것을 $a_2$에서 $b_1$, $b_1$에서 $b_2$까지 적분하는 것으로 쪼개서 ${\min\{b_1, v_2F_1(v_2)\}$을 풀어서 적어준다.

$$\int_{a_2}^{b_2}{v_2F_1(v_2)f_2(v_2)dv_2}+\int_{a_2}^{b_2}{\left(F_2(v_2)-1\right)F_1(v_2)dv_2}$$

$$-\left(\int_{a_2}^{b_1}{v_2F_1(v_2) f_2(v_2) dv_2}+\int_{b_1}^{b_2}{b_1 f_2(v_2) dv_2}\right)$$

$F_1(v_2)$는 $b_1$부터 $b_2$까지 1이라는 것을 이용하고 추가적인 정리를 해주면 완료 된다.

$$\int_{b_1}^{b_2}{(v_2-b_1)f_2(v_2)dv_2}+\int_{a_2}^{b_2}{\left(F_2(v_2)-1\right)F_1(v_2)dv_2}$$

$$=-\int_{b_1}^{b_2}{F_2(v_2)-1dv_2}+\int_{a_2}^{b_2}{\left(F_2(v_2)-1\right)F_1(v_2)dv_2}$$

$$=-\int_{b_1}^{b_2}{(F_2(v_2)-1)F_1(v_2)dv_2}+\int_{a_2}^{b_2}{\left(F_2(v_2)-1\right)F_1(v_2)dv_2}$$

$$=\int_{a_2}^{b_1}{\left(F_2(v_2)-1\right)F_1(v_2)dv_2}$$

 

우리가 원래 무엇을 하려고 했는지 되돌아보자. $U_0+U_1(b_1)+U_2(a_2)\ge 0$을 보이고 싶었다. 하지만 위 수식은 우리의 가정 $a_2<b_1, a_1<b_2$ 아래에서는 그 값이 음수임을 말하고 있다. ■

 

어찌어찌 적분의 계산과 계산 끝에 결론에 도달했는데, 이것이 시사하는 바는 무엇일까? 적어도 $U_0$이 음수이거나 $U_1(b_1)+U_2(a_2)$가 음수라는 말이다. 즉 WBB가 깨지거나 IR이 깨진다는 것이다. 만약에 IR 조건을 강제하고 싶다면 메커니즘은 위 수식만큼의 보조금을 지급해야만 ex post efficiency를 달성할 수 있다는 것이다.

 

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이 문제에 대한 가정

이전 글을 기억한다면 우리는 두 가지 가정을 하고 시작을 했었다. 하나는 마지막에 사용한 $a_2<b_1, a_1<b_2$ 조건이고 다른 하나는 $f_1, f_2$가 각 범위 내에서 연속이고 양의 density를 갖는다는 것이었다. 그리고 언급은 하지 않았지만 두 분포가 서로 독립(independent)임을 사용했다. 세 조건 중 하나라도 빠지면 BIC, IR, WBB이면서 ex post efficient한 메커니즘이 존재할 수도 있다. 다음 경우를 살펴보면 좋을 것이다.

$$[a_1,b_1]=[1,4], [a_2,b_2]=[0,3]$$

$$Pr[V_1=1]=Pr[V_1=4]=1/2, Pr[V_2=0]=Pr[V_2=3]=1/2$$

 

다음 경우도 생각해 보면 좋다.

$$V_2\text{ is unifomly distributed on [0,1]}, V_1=\sqrt{V_2}$$

 

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Constant factor guarantee BIC, IR, WBB mechanism?

Myerson과 Satterthwaite의 논문 이후로, 완벽히 ex post efficient하지는 않지만, BIC, IR, WBB하면서 constant factor (가령 ex post efficient 메커니즘이 달성했을 GFT의 10%는 달성하는) 메커니즘이 존재하는지 학자들이 풀고자 했었다. 그리고 Symposium on Theory of Computing (STOC) 2022에 Approximately Efficient Bilateral Trade 이라는 제목의 논문이 하나 발표되었다. (link: https://dl.acm.org/doi/10.1145/3519935.3520054)

이 논문에서는 Seller Pricing Mechanism과 Buyer Pricing Mechanism을 (가령 0.5, 0.5의 확률로) 확률적으로 선택하는 메커니즘이 ex post efficient 메커니즘의 12%는 보장해준다는 것을 보였다.

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TMI: 우리가 흔히 부르는 Myerson-Satterthwaite Theorem은 정작 논문에서는 corollary 정도로 적혀있다. 그리고 이 글에서 적은 lemma와 corollary는 논문 내용과는 다르게 필자가 임의로 정했다.